חזור לתיקייה: 01040031 - חשבון אינפיניטסימלי 1מ'

1 - קבוצות של מספרים

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • קבוצות
  • ערך מוחלט
  • משמעות גיאומטרית
  • תכונות הערך המוחלט
  • קטעים וסביבות
  • חסימות
  • סופרמום ואינפימום

1 - קבוצות של מספרים

01040031

חשבון אינפיניטסימלי 1מ'

רשימות הרצאה לקריאה בשבת

קבוצות של מספרים

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

קבוצות

ישנם כמה קבוצות של מספרים איתם נעבוד בקורס:

םייעבטהN={1,2,3,… }\text{םייעבטה}\quad\mathbb{N}=\{ 1,2,3,\dots \}םייעבטהN={1,2,3,…} םימלשהZ={…,−2,−1,0,1,2,… }\text{םימלשה}\quad \mathbb{Z}=\{ \dots,-2,-1,0,1,2,\dots \}םימלשהZ={…,−2,−1,0,1,2,…} N⊊Z\mathbb{N}\subsetneq \mathbb{Z}N⊊Z

משמעותם של הסימנים: N\mathbb{N}N מוכלת אך לא שווה ל-Z\mathbb{Z}Z.

םיילנויצרהQ={mn∣m,n∈Z,n≠0}\text{םיילנויצרה}\quad \mathbb{Q}=\left\{ \frac{m}{n}|m,n \in \mathbb{Z},n \neq0 \right\}םיילנויצרהQ={nm​∣m,n∈Z,n=0}

למשל, 23∈Q\frac{2}{3}\in \mathbb{Q}32​∈Q, 23∉Z\frac{2}{3}\not\in \mathbb{Z}32​∈Z.

םיישממהR={x∣−∞<x<∞}\text{םיישממה}\quad \mathbb{R}=\{ x|-\infty<x<\infty \}םיישממהR={x∣−∞<x<∞}

עוד חודש וחצי בערך נוכל להגדיר במדויק את R\mathbb{R}R, כעת יש לנו רק הערכה.
כדי להתעמק, נסתכל על ההוכחה של היותו של 2\sqrt{ 2 }2​ מספר שאינו רציונלי.

c2=2c^2=2c2=2

טענה: c∉Qc \not \in \mathbb{Q}c∈Q.
הוכחה: בשלילה

טענה (טענת עזר)

אם n2n^2n2 זוגי אז nnn זוגי.

נניח בשלילה כי c∈Qc \in \mathbb{Q}c∈Q. נרשום c=mnc=\frac{m}{n}c=nm​ כאשר m,n∈Nm,n \in \mathbb{N}m,n∈N ו-mn\frac{m}{n}nm​ שבר מצומצם. (אין גורם משותף למונה ולמכנה פרט ל-1)

c=mn  ⟹  c2=m2n2=2  ⟹  m2=2n2c=\frac{m}{n}\implies c^2=\frac{m^2}{n^2}=2\implies m^2=2n^2c=nm​⟹c2=n2m2​=2⟹m2=2n2

לכן: m2m^2m2 זוגי. ⇐ mmm זוגי לפי טענת העזר. ⇐ m2m^2m2 מתחלק ב-4 ⇐ 2n22n^22n2 מתחלק ב-4. ⇐ n2n^2n2 מתחלק ב-2, כלומר זוגי ⇐ לפי טענת העזר nnn זוגי.
מכיוון שגם mmm וגם nnn זוגיים השבר אינו מצומצם וכך הגענו לסתירה.
‎∎

2∉Q\sqrt{ 2 }\not \in \mathbb{Q}2​∈Q
משפט (צפיפות הרציונליים)

לכל x<y∈Rx<y \in \mathbb{R}x<y∈R קיים q∈Qq \in \mathbb{Q}q∈Q כך ש-x<q<yx<q<yx<q<y.

הוכחה:
נתון y>xy>xy>x ⇐ y−x>0y-x>0y−x>0 ⇐(עקרון ארכימדס) קיים nnn טבעי כך ש-n>1y−xn> \frac{1}{y-x}n>y−x1​. ⇐ ny−nx>1ny-nx>1ny−nx>1
⇐ קיים m∈Zm \in \mathbb{Z}m∈Z כך ש-nx<m<nynx<m<nynx<m<ny. ⇐ x<mn<yx<\frac{m}{n}<yx<nm​<y.
נסמן q=mnq=\frac{m}{n}q=nm​.
‎∎

ערך מוחלט

הגדרה 1 (ערך מוחלט)

∣x∣={x,x≥0−x,x<0|x|=\begin{cases} x, \quad x\geq0 \\ -x, \quad x< 0 \end{cases}∣x∣={x,x≥0−x,x<0​
דוגמה

∣−2∣=2|-2|=2∣−2∣=2
משפט (הגדרה שקולה)

∣x∣=max⁡{x,−x}|x|=\max\{ x,-x \}∣x∣=max{x,−x}

הגדרה שקולה הינה בעצם משפט שצריך להוכיח. (צנזור הוכיח אותו בע"פ)

משמעות גיאומטרית

המרחק של xxx מ-000. (במרוכבים הערך המוחלט גם מציין מרחק מ-0)

תכונות הערך המוחלט

משפט (תכונות ערך מוחלט)

לכל x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}x,y∈R:

  1. ∣x∣≥0|x|\geq0∣x∣≥0
  2. ∣x∣≥x,∣x∣≥−x|x|\geq x, |x|\geq -x∣x∣≥x,∣x∣≥−x
  3. ∣x∣=∣−x∣|x|=|-x|∣x∣=∣−x∣
  4. ∣x∣=0  ⟺  x=0|x|=0 \iff x=0∣x∣=0⟺x=0
  5. ∣xy∣=∣x∣∣y∣|xy|=|x||y|∣xy∣=∣x∣∣y∣

לתכונה הבאה קוראים אי שוויון המשולש:
6. ∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣|x+y|\leq |x|+|y|∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣
לפעמים קוראים לתכונה הבאה אי שוויון המשולש השני:
7. ∣∣x∣−∣y∣∣≤∣x−y∣||x|-|y||\leq |x-y|∣∣x∣−∣y∣∣≤∣x−y∣
בתכונה הבאה אנו הולכים להשתמש מלא בקורס:
8. ∣x∣<M  ⟺  M<x<M|x|<M \iff M<x<M∣x∣<M⟺M<x<M

לא נוכיח את כל הסעיפים על מנת לחסוך בזמן.
הוכחה:
1️⃣ במידה ב-x≥0x\geq0x≥0 אזי ∣x∣=x≥0|x|=x\geq 0∣x∣=x≥0. במידה ו-x<0x<0x<0 אזי ∣x∣=−x≥0|x|=-x\geq0∣x∣=−x≥0 ולכן ∣x∣≥0|x|\geq 0∣x∣≥0.
2️⃣
3️⃣
4️⃣
5️⃣
6️⃣ לפי 2, ∣x∣≥x|x|\geq x∣x∣≥x, ∣y∣≥y|y|\geq y∣y∣≥y ⇐

∣x∣+∣y∣≥x+y|x|+|y|\geq x+y∣x∣+∣y∣≥x+y

לפי 2, ∣x∣≥−x|x|\geq -x∣x∣≥−x, ∣y∣≥−y|y|\geq -y∣y∣≥−y ⇐

∣x∣+∣y∣≥−(x+y)|x|+|y|\geq -(x+y)∣x∣+∣y∣≥−(x+y)

⇐ לפי ההגדרה השקולה:

∣x∣+∣y∣≥∣x+y∣|x|+|y|\geq |x+y|∣x∣+∣y∣≥∣x+y∣
הערה

לאי שוויון המשולש קוראים אי שוויון המשולש מכיוון שבווקטורים/מרוכבים כאשר יש לנו וקטור x ווקטור y, אורך הווקטור השקול בהרכח גדול או שווה לסכום האורכים של x ו-y.

7️⃣
8️⃣
‎‎∎

הערה (שימוש בגיאומטריה)

בקורס הזה מומלץ להסתמך על גיאומטריה רק באינטואיציה ולא להוכיח עם גיאומטריה כלל שכן הגיאומטריה יכולה להיות לא מדויקת מספיק

קטעים וסביבות

הגדרה 2 (קטע פתוח)

(a,b)={x∣a<x<b}(a,b)=\{x|a<x<b\}(a,b)={x∣a<x<b}
הגדרה 3 (קטע סגור)

[a,b]={x∣a≤x≤b}[a,b]=\{ x|a\leq x \leq b \}[a,b]={x∣a≤x≤b}
הערה

[a,b)={x∣a≤x<b}[a,b)=\{ x|a\leq x<b \}[a,b)={x∣a≤x<b} [a,∞)={x∣a≤x}[a,\infty)=\{ x|a\leq x \}[a,∞)={x∣a≤x} (−∞,b)={x∣x≤b}(-\infty,b)=\{ x|x\leq b \}(−∞,b)={x∣x≤b}
הגדרה 4

יהי x0∈Rx_{0} \in \mathbb{R}x0​∈R ויהי ε>0\epsilon>0ε>0 .
הקטע (x0−ε,x0+ε)(x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon)(x0​−ε,x0​+ε) נקרא ε\epsilonε-סביבה של x0x_{0}x0​.
​קטעים וסביבות 2025-11-03 08.57.07.excalidraw.svg

משפט

∣x−x0∣<ε  ⟺  x∈(x0−ε,x0+ε)|x-x_{0}|<\epsilon \iff x \in (x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon)∣x−x0​∣<ε⟺x∈(x0​−ε,x0​+ε)

הוכחה:

x∈(x0−ε,x0+ε)  ⟺  ′גהx0−ε<x<x0+ε  ⟺  −ε<x−x0<εx \in (x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon) \overset{'גה}{\iff} x_{0}-\epsilon<x<x_{0}+\epsilon \iff -\epsilon<x-x_{0}<\epsilonx∈(x0​−ε,x0​+ε)⟺′גה​x0​−ε<x<x0​+ε⟺−ε<x−x0​<ε   ⟺  (8)∣x−x0∣<ε\overset{(8)}{\iff} |x-x_{0}|<\epsilon⟺(8)​∣x−x0​∣<ε

‎∎

מסקנה:

(x0−ε,x0+ε)={x∣  ∣x−x0∣<ε}(x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon)=\{ x|\; |x-x_{0}|<\epsilon \}(x0​−ε,x0​+ε)={x∣∣x−x0​∣<ε}
הערה

המשמעות הגיאומטרית של ∣x−y∣|x-y|∣x−y∣ זה המרחק בין xxx ל-yyy.

הגדרה 5

{x∣  0<∣x−x0∣<ε}\{ x|\; 0<|x-x_{0}|<\epsilon \}{x∣0<∣x−x0​∣<ε}

הקבוצה הזו נקראת ε\epsilonε-סביבה מנוקבת של x0x_{0}x0​.
​קטעים וסביבות 2025-11-03 09.07.26.excalidraw.svg

חסימות

הגדרה 6 (חסימות)

תהי A⊆RA \subseteq \mathbb{R}A⊆R קבוצה.

  1. הקבוצה AAA נקראת חסומה מלמעלה אם קיים MMM כך שלכל x∈Ax \in Ax∈A מתקיים x≤Mx \leq Mx≤M.
  2. הקבוצה AAA נקראת חסומה מלמטה אם קיים mmm כך שלכל x∈Ax \in Ax∈A מתקיים m≤xm \leq xm≤x.
  3. הקבוצה AAA נקראת חסומה אם היא חסומה גם מלמטה וגם מלמעלה.
משפט

הקבוצה AAA חסומה ⇔ קיים K כך שלכל x∈Ax \in Ax∈A מתקיים ∣x∣≤K|x|\leq K∣x∣≤K.

הוכחה:
נתון שלכל x∈Ax \in Ax∈A, ∣x∣≤K|x|\leq K∣x∣≤K לכן, לפי 8, K≤x≤KK\leq x\leq KK≤x≤K.
נגדיר M=KM=KM=K, m=−Km=-Km=−K ואז לכל x∈Ax \in Ax∈A מתקיים x≤Mx \leq Mx≤M, m≤xm \leq xm≤x.

⇐:
נתון שקיימים m,Mm,Mm,M כך שלכל x∈Ax \in Ax∈A: m≤x≤Mm \leq x \leq Mm≤x≤M. נגדיר K=max⁡{∣M∣,∣m∣}K=\max\{ |M|,|m| \}K=max{∣M∣,∣m∣} ואז:

−K≤−∣m∣≤−m≤∣m∣(2)‾m≤x≤M≤(2)∣M∣≤K-K\leq-|m|\overset{\overset{\underline{(2)}}{-m\leq |m|}}\leq m\leq x\leq M\overset{(2)}\leq |M|\leq K−K≤−∣m∣≤−m≤∣m∣(2)​​​m≤x≤M≤(2)​∣M∣≤K

⇐ לפי 8,

∣x∣≤K|x|\leq K∣x∣≤K

‎‎∎

דוגמה

הקבוצה N\mathbb{N}N חסומה מלמטה על ידי 0,−50,-50,−5 וכו'
(−3,2](-3,2](−3,2] חסומה: מלמטה על ידי −3-3−3 ומלמעלה על ידי 2.
הקבוצה {1n∣n∈N}\left\{ \frac{1}{n}|n \in \mathbb{N} \right\}{n1​∣n∈N} חסומה מלמטה ע"י 0 ומלמעלה על ידי 1. (אין חסמים מלמטה הגדול מ-0)

סופרמום ואינפימום

הגדרה 7

המספר SSS נקרא סופרמום של A אם SSS הוא החסם מלמעלה הכי קטן של A.
המספר III נקרא אינפימום של A אם III הוא החסם מלמטה הכי גדול של A.

אם S∈AS \in AS∈A הוא נקרא מקסימום ואם I∈AI \in AI∈A הוא נקרא מינימום.
נסמן: sup⁡A,inf⁡A,max⁡A,min⁡A\sup A,\quad \inf A, \quad \max A,\quad \min A \quadsupA,infA,maxA,minA

הערה

לסופרימום קוראים גם חסם עליון ולאינפימום קוראים גם חסם תחתון. אבל צנזור לא ישתמש במינוח הזה וממליץ גם לנו לא.

דוגמה

ל-N\mathbb{N}N אין sup⁡\supsup ויש לה inf⁡N=min⁡N=1\inf \mathbb{N}=\min \mathbb{N}=1infN=minN=1
ל-(−3,2](-3,2](−3,2] יש: sup⁡=max⁡=2\sup =\max =2sup=max=2 ו-inf⁡=−3\inf = -3inf=−3 ואין לה מינימום.
ל-{1n∣n∈N}\left\{ \frac{1}{n}|n \in \mathbb{N} \right\}{n1​∣n∈N} יש: sup⁡=max⁡=1\sup=\max=1sup=max=1, inf=0inf=0inf=0 ואין מינימום.

טענה

1=0.999‾1=0.\overline{999}1=0.999

הוכחה: (בעצם שכנוע כי עוד לא הגדרנו את המספרים והזזה של נקודה)
נסמן x=0.99‾x=0.\overline{99}x=0.99 ⇐ 10x=9.99‾10x=9.\overline{99}10x=9.99 ⇐ 10x−x=910x-x=910x−x=9 ⇐ 9x=99x=99x=9 ⇐ x=1x=1x=1.
‎‎∎

טענה

תהי A={x∈Q∣x2<2}A=\{ x \in \mathbb{Q}|x^2<2 \}A={x∈Q∣x2<2} אזי ל-A אין סופרמום ב-Q\mathbb{Q}Q.

הוכחה:

שיעורי בית (HW)

להוכיח פורמלית

‎‎∎

אקסיומה (אקסיומת השלמות)

לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלמעלה של מספרים ממשיים קיים סופרמום ב-R\mathbb{R}R.

משפט (הגדרה שקולה לסופרמום)

S=sup⁡A  ⟺  {(1)  ∀x∈A:x≤S(2)  ∀ε>0,  ∃x0∈A:S−ε<x0S=\sup A \iff \begin{cases} (1)\; \forall x \in A: \quad x \leq S\\ (2)\; \forall \epsilon>0,\; \exists x_{0} \in A: \quad S-\epsilon<x_{0} \end{cases}S=supA⟺{(1)∀x∈A:x≤S(2)∀ε>0,∃x0​∈A:S−ε<x0​​

הוכחה:

שיעורי בית (HW)

להשלים בבית

‎‎∎

משפט

לכל x>0x>0x>0 ולכל n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N קיים y>0y>0y>0 יחיד שמקיים yn=xy^n=xyn=x (y=xny=\sqrt[n]{ x }y=nx​)

הוכחה: עבור n=2n=2n=2 נא לצפות בווידיאו. (עבור n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N כללי יש הוכחה ברשימות באתר הקורס.)
‎∎