0 - הקדמה — חשבון אינפיניטסימלי 1מ'

משפט הוא עובדה, אמירה שהיא נכונה וצריך להוכיח אותה. מרגע שמוכיחים משפט הוא נכון תמיד.(גם בסין, גם בברזיל וכו')

משפט (Fermat)

תהי $f$ פונקציה שמוגדרת בקטע $(a,b)$ ותהי $x_{0}$ נקודת קיצון של $f$ שבה $f$ גזירה.
אזי, $f'(x)=0$ .

כעת נסביר את המשפט:

קטע פתוח המסומן $(a,b)$ , משמעו $a<x<b$ .
נקודת קיצון היא מקסימום או מינימום מקומי. למשל, מקסימום מקיימת:
$f(x_{0})>f(x)$
לכל $x$ בסביבה של $x_{0}$
גזירה באינטואיציה משמעה גרף חלק. נזכור כי $f'$ מסמלת נגזרת, משמע, שיפוע המשיק.

הקדמה 2025-10-31 21.29.39.excalidraw.svg
שרבוט הינו מעולה לאינטואיציה אך אינו הוכחה.

הערה

המשפט הינו מהתיכון: "גוזרים ומשווים לאפס"

משפט (Rolle)

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$ וגזירה בקטע $(a,b)$ ונניח כי $f(a)=f(b)$ .
אזי, קיימת $c$ בין $a$ ל- $b$ כך ש- $f'(c)=0$ .

נסביר את המשפט:

פונקציה רציפה משמעה באינטואיציה הוא שניתן לשרטט את הגרף מבלי להרים את העט מהדף.
קטע סגור $[a,b]$ : $a\leq x\leq b$ .
נשרבט ונשתכנע כי המשפט נכון:

אם הפונקציה לא קבוע(כלומר, לא קו ישר), הפונקציה צריכה או לעלות או לרדת, אבל לא ניתן פשוט להמשיך לעלות/לרדת שכן $f(a)=f(b)$ . לכן, נצטרך לבצע את הפעולה ההפוכה כדי להגיע בחזרה ל- $f(b)$ ולכן, מכיוון שעלינו וירדנו, ישנה נקודת קיצון.

משפט (Lagrange)

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$ וגזירה בקטע $(a,b)$ .
אזי, קיימת $a<c<b$ כך ש-

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

הקדמה 2025-10-31 21.45.29.excalidraw.svg
אם מסתכלים על הגרף עם הראש מוטה הצידה, נוכל לראות בערך את משפט רול.

הערה

זו הכללה של רול

משפט (Cauchy)

יהיו $f,g$ פונצקיות רציפות ב- $[a,b]$ וגזירות ב- $(a,b)$ ונניח כי $g'(x)\neq0$ לכל $x \in(a,b)$ .
אזי:

מתקיים: $g(a)\neq g(b)$
קיימת $a<c<b$ כך ש-

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}

בואו נוכיח את 1.

הוכחה: בשלילה
נניח כי $g(a)=g(b)$ . נתון כי $g'(x)\neq0$ .
ע"פ משפט רול, קיימת נקודה בה $g'(x)=0$ ולכן הגענו לסתירה.
∎

רעיון להוכחה שאינו נכון:
הפונקציה $f$ מקיימת את התנאים של לגראנג'. גם $g$ מקיימת את התנאים הנ"ל.

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{\frac{f(a)-f(b)}{a-b}}{\frac{g(a)-g(b)}{a-b}}=\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}

ההוכחה אינה נכונה שכן $c$ אינה אותה $c$ ב- $f$ וב- $g$ .
לכן, המשוואה ממקודם היא בעצם $\frac{f'(c)}{g'(d)}$ .

הערה

זו הכללה של לגראנג'.
נפעיל את קושי על $f$ כללית ועל $g(x)=x$ .

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f'(c)}{1}=f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

הגדרה 1 (הגבול)

נאמר כי $\lim_{ x \to a }f(x)=L$ אם לכל $\epsilon>0$ קיים $\delta<0$ כך ש-

0<|x-a|<\delta\implies |f(x)-L|<\epsilon

צנזור מאחל בהצלחה! ומוסר כי חשוב לא לפחד לטעות.

משפט הוא עובדה, אמירה שהיא נכונה וצריך להוכיח אותה. מרגע שמוכיחים משפט הוא נכון תמיד.(גם בסין, גם בברזיל וכו')

משפט (Fermat)

תהי $f$ פונקציה שמוגדרת בקטע $(a,b)$ ותהי $x_{0}$ נקודת קיצון של $f$ שבה $f$ גזירה.
אזי, $f'(x)=0$ .

כעת נסביר את המשפט:

קטע פתוח המסומן $(a,b)$ , משמעו $a<x<b$ .
נקודת קיצון היא מקסימום או מינימום מקומי. למשל, מקסימום מקיימת:
$f(x_{0})>f(x)$
לכל $x$ בסביבה של $x_{0}$
גזירה באינטואיציה משמעה גרף חלק. נזכור כי $f'$ מסמלת נגזרת, משמע, שיפוע המשיק.

הקדמה 2025-10-31 21.29.39.excalidraw.svg
שרבוט הינו מעולה לאינטואיציה אך אינו הוכחה.

הערה

המשפט הינו מהתיכון: "גוזרים ומשווים לאפס"

משפט (Rolle)

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$ וגזירה בקטע $(a,b)$ ונניח כי $f(a)=f(b)$ .
אזי, קיימת $c$ בין $a$ ל- $b$ כך ש- $f'(c)=0$ .

נסביר את המשפט:

פונקציה רציפה משמעה באינטואיציה הוא שניתן לשרטט את הגרף מבלי להרים את העט מהדף.
קטע סגור $[a,b]$ : $a\leq x\leq b$ .
נשרבט ונשתכנע כי המשפט נכון:

אם הפונקציה לא קבוע(כלומר, לא קו ישר), הפונקציה צריכה או לעלות או לרדת, אבל לא ניתן פשוט להמשיך לעלות/לרדת שכן $f(a)=f(b)$ . לכן, נצטרך לבצע את הפעולה ההפוכה כדי להגיע בחזרה ל- $f(b)$ ולכן, מכיוון שעלינו וירדנו, ישנה נקודת קיצון.

משפט (Lagrange)

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$ וגזירה בקטע $(a,b)$ .
אזי, קיימת $a<c<b$ כך ש-

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

הקדמה 2025-10-31 21.45.29.excalidraw.svg
אם מסתכלים על הגרף עם הראש מוטה הצידה, נוכל לראות בערך את משפט רול.

הערה

זו הכללה של רול

משפט (Cauchy)

יהיו $f,g$ פונצקיות רציפות ב- $[a,b]$ וגזירות ב- $(a,b)$ ונניח כי $g'(x)\neq0$ לכל $x \in(a,b)$ .
אזי:

מתקיים: $g(a)\neq g(b)$
קיימת $a<c<b$ כך ש-

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}

בואו נוכיח את 1.

הוכחה: בשלילה
נניח כי $g(a)=g(b)$ . נתון כי $g'(x)\neq0$ .
ע"פ משפט רול, קיימת נקודה בה $g'(x)=0$ ולכן הגענו לסתירה.
∎

רעיון להוכחה שאינו נכון:
הפונקציה $f$ מקיימת את התנאים של לגראנג'. גם $g$ מקיימת את התנאים הנ"ל.

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{\frac{f(a)-f(b)}{a-b}}{\frac{g(a)-g(b)}{a-b}}=\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}

ההוכחה אינה נכונה שכן $c$ אינה אותה $c$ ב- $f$ וב- $g$ .
לכן, המשוואה ממקודם היא בעצם $\frac{f'(c)}{g'(d)}$ .

הערה

זו הכללה של לגראנג'.
נפעיל את קושי על $f$ כללית ועל $g(x)=x$ .

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f'(c)}{1}=f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

הגדרה 1 (הגבול)

נאמר כי $\lim_{ x \to a }f(x)=L$ אם לכל $\epsilon>0$ קיים $\delta<0$ כך ש-

0<|x-a|<\delta\implies |f(x)-L|<\epsilon

צנזור מאחל בהצלחה! ומוסר כי חשוב לא לפחד לטעות.